头一个问题,玛丽和汤姆彼此相向而行,弗多则在他们之间往返奔跑,这个问题是经典问题,可以有很多不同的陈述方法。有时是一只鸟在两列相向接近的火车之间来回飞,有时是一只飞虫在两辆彼此迎面骑来的自行车之间飞来飞去。大多数人,包括很好的数学家都可能没有看出狗跑的距离很容易算出。在15分钟后,汤姆和玛丽碰面,所以狗跑了15分钟。如果它以每小时8公里的速度奔跑,则15分钟内它必然跑了2公里远。 有一个关于著名的匈牙利数学家冯·纽曼的故事。有人向他提问过一个类似的问题,他想了一会儿就作出了正确的回答。提问的人很称赞他,说道:“大多数人以为他们要用一种困难的方法,即用对走过的路径线段的无穷序列求和的方法来解决这一问题呢。”冯·纽曼有点吃惊,他说:“可我就是那样做的呀。” 在汤姆和玛丽相逢时,弗多面向哪一边?这个问题就类似于问汤姆森电灯是开着还是关了,或是玻璃球在盘A中还是盘B中?看起来好像小狗要么向东,要么向西,但无论何者都意味着,在之字线路的无穷序列中计数的最后一次要么是奇数,要么是偶数。 当我们把这个过程的时间反演,即开始是玛丽、汤姆和弗多在道路的中央,然后玛丽和汤姆背道而驰,弗多在两人中间来回跑,这时就会产生另一个悖论。按照直觉,我们以为,如果一个明确的过程作时间反演的话,这时一切过程都反转过来,那么到结束时,我们必然正好回到起点。可奇怪的是,当时间反推时,上述进程不再是十分确定的了。当该过程俺正向演进时,弗多正好在中央。但是,当这一过程反过来进行时,最后弗多的位置却无法决定。小狗可能在道路上任何一点。 对于这一悖论的较详细讨论参见萨尔蒙发表在《科学美国人》1971年12月数学游戏部分的分析。 这个问题,以及前面介绍的关于超级任务和跑步人的悖论,是对极限概念及其它在几何级数求和中的应用的极好介绍。弗多的之字路线有点类似于一个弹跳小球的路线,在这方面学生们可能有兴趣研究简单一点的弹球问题。譬如,假定一个理想的小球从1米高落下。然后,它总是反跳到原来高度的一半。如果小球每跳一次要一秒钟,它将永远弹跳不止。但是,正如基诺的跑步人、电灯、玻璃球机器和弗多一样,小球每次跳的时间却比前次短。时间级数收敛于一个极限,这意味着小球在有限的时间内便停止了跳动,只不过它(理论上)要作无数次跳动罢了。
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